КРОЛИКИ І НЕ ТІЛЬКИ

ЗАДАЧА ПРО КРОЛИКІВ І ПОСЛІДОВНІСТЬ ФІБОНАЧЧІ

ЗАДАЧА ПРО КРОЛИКІВ І ПОСЛІДОВНІСТЬ  ФІБОНАЧЧІ

 Жодна інша  наука не навчає 

так ясно розуміти  гармонію природи, 

як математика.                            

         
                                                                                                                                   П. Карус 

 Італійський математик Леонардо Пізанський,

більш відомий як Фібоначчі (тобто син Боначчі), —один з основоположників

математики нового часу в  Західній Європі. 

    Його «Книга про абак», «Практика геометрії», «Книга квадратів» за рівнем викладенням   матеріалу   перевершували   книзі «Про абак» Фібоначчі  пропонує таку задачу:

Дехто помістив пару кроликів у деяке місце, загороджене з усіх боківстіною, щоб дізнатися, скільки пар кроликів  народиться   протягом року, якщо природа кроликів така, що через місяць пара кроликів народжує другу пару, а   народжують кролики починаючи з другого місяця післясвоєї появи на світ.

Розв'язання цієї задачі можна наочно продемонструвати за допомогою рисунка.

Ясно, що якщо вважати першу пару кроликів новонародженою, то на другий місяць ми по колишньому матимемо одну пару; на 3-й місяць - 1+1=2; на 4-ій - 2+1=3 пари (бо з двох наявних пар потомство дає лише одна пара); на 5-й місяць - 3+2=5 пар (лише 2 пари, що народилася на 3-й місяць, дадуть потомство на 5-й місяць); на 6-й місяць - 5+3=8 пар (бо потомство дадуть тільки ті пари, які народилися на 4-му місяці) і т.д.

Таким чином, якщо позначити число пар кроликів, що є на n-м місяці через Fk, то F1=1, F2=1, F3=2, F4=3, F5=5, F6=8, F7=13, F8=21 і т. д., причому утворення цих чисел регулюється загальним законом: Fn=fn-1+fn-2 при всіх n>2, адже число пар кроликів на n-м місяці рівно числу Fn-1 пар кроликів на попередньому місяці плюс число пар, що знов народилися, яке співпадає з числом Fn-2 пар кроликів, що народилися на (n-2) місяці (бо лише ці пари кроликів дають потомство). 

Числа Fn, що утворюють послідовність 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 ... називаються "Числами Фібоначчі", а сама послідовність - послідовністю Фібоначчі